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2016年5月20日 (金)

小学生でも分かるフィボナッチ数列の性質。 Hiro. Oyama

意外や意外、音楽の世界にもフィボナッチ数列はしっかり支配されているのでした。これまでにエジプトのピラミッドだとか、モナリザの絵の中に見出される黄金比などとの関係は盛んに議論されて来ましたが、音楽の世界もフィボナッチ数列で支配されているとは聞いたことがありません。
 しかも、2つの要素で支配されているのでした。
その2つとは、音の高さと強さという二つです。意外にあなたも思ったでしょう。今日はその話をしましょう。

 まずは音階(音の階段;高さ)に関しての話からしましょうね。
音階を議論する場合、一番手っ取り早いのは、ピアノ音階を引き合いにだすのがいいでしょう。ピアノには88鍵盤の音が準備されています。その音はドレミファソラシドが7回とちょっと繰り返されています。ドの音だけでも、8つもあるのです。
 そのドレミファのドの音は、一つ高いドの音の半分の周波数〔ちょうど半分の周波数〕を持っているのです。ですから、自分自身が1サイクル回って戻って来た時に、丁度各ドの音が皆、スタートラインまで戻って来ており、改めて再スタートが切れるのでした。
他の音でも一緒です。「ミ」の音に関しても、「ソ」の音に関しても「自分が一周して帰って来たら、周囲の同じ音と呼ばれている音は皆帰って来ているのです。
これを完全調和音と呼ぶのですが、こんな呼び名はどうでも良いことです。気持ち良ければそれでいいのでした。

 さて、その音の周波数を書き出してみると、以下のようになっています。
32.7、65.41、130.8、261.6、523.3、1046.25、2093.4186.c/secの8つがドの音だと物の本に書いてあります。隣同士で比較すると、どれも、倍半分の関係にありますね。これがフィボナッチ数列と切っても切れない関係にある由縁です。

『フィボナッチ数列は、1、1、2、3、5、8、13、21、34、・・・の正の整数の並びだぞ。先生の書いた数字には、皆小数点が付いているじゃあないか』という質問ですか?
良く知ってますね。その通りです。ついこの間まではその通りでした。しかしね、先生は発見したのです。
 フィボナッチ数列をよくよく調べて見たら、フィボナッチ坊やが数百年前に発見したというその数列は、実は「小数点付きの実数列とした方が、ズーと合理的な考え方が出来る」って分かったのです。
フィボナッチ数列の基本ルールは覚えていますね。前の二つの数値を足し算すると、次の数値になるという遊びです。思い出してみましょう。
1+1=2
  1+2=3
   2+3=5
    3+5=8
     5+8=13
        ・・・
と、永遠に大きくなっていく数の並びなのでしたね。言うならば足し算を永遠に繰り返して行くと出て来る数の並びでした。引き算式に変えても出来ますが、
13-5=8
     8-5=3
       5-3=2
         3-2=1
           2-1=1
  となって、     1-1=0 となって the END.でした。
 これってちょっと不自然なのです。段々と永久に大きくなっていく数列なのですから、逆にたどれば、どんどんと小さな世界に入っていけるはずです。それが自然な状態なのです。
そこでどんな割合で増加しているのか調べて見たのが、次の割り算結果です。
  1÷1 =1
  2÷1 =2
  3÷2 =1.5
  5÷3 =1.66666・・・
  8÷5 =1.6
 13÷8 =1.625
 21÷13=1.615・・・
 34÷21=1.619・・・
 55÷34=1.6176・・・
 89÷55=1.6181・・・
144÷89=1.6179・・・
233÷144=1.6180・・・
377÷233=1.6180・・・
610÷377=1.6180・・・
という具合に、割り算した値は、ある数値:1.6180・・・にどんどんと近づいて行くのでした。どこまで計算しても永遠にその値に近づきていくのです。これは早くから知られていました。
 そこで先生はね、逆に割算をしてみたのです。
610÷1.618=377.008・・
377÷1.618=233.003・・
233÷1.618=144.004・・
144÷1.618=88.998・・
 89÷1.618=55.006・・
 55÷1.618=33.99・・
 34÷1.618=21.01・・
 21÷1.618=12.978・・
 13÷1.618= 8.0346・・
  8÷1.618= 4.9443・・
  5÷1.618= 3.090・・・
  3÷1.618= 1.854・・・
  2÷1.618= 1.236・・・
  1÷1.618= 0.618・・・
  1÷1.618= 0.618・・・
 右に並んだ数値を整数値になるように四捨五入して(丸めて)ご覧なさい、どれも皆、フィボナッチ数列になっているのが分かりますね。 

 フィボナッチ数列は小数点付きの実数で表す方が、その性質(基本ルール)が分かり易いことを理解出来ましたか?
そして、ゴルゴ13の13よりも大きい数値では、整数表示のものとほとんど変わらないのに対して、13よりも小さい数値になると、整数化後の数値と四捨五入前との数値とでは開きが大きくなること、特に、1に対しては、0.5~1.499までの誤差が出ること納得できましたね。
 そうなのです。フィボナッチ数列は、特に小さい数値に対しては、小数点付きの実数で表現する方がより適切だったということです。

 先生は、しつこい性格をしていますので、『0と1との間にはもっと小さな数値(フィボナッチ実数列)が隠れているのではないかな』、って考えたのです。
やってみせましょう。
610.   ÷1.618=377.008・・
377.008÷1.618=233.009・・
233.009÷1.618=144.011・・
144.011÷1.618 =89.005・・
 89.005÷1.618 =55.009・・
 55.009÷1.618 =33.998・・
 33.998÷1.618 =21.013・・
 21.013÷1.618 =12.986・・
 12.986÷1.618 = 8.0264・・
 8.0264÷1.618 = 4.9607・・
 4.9607÷1.618 = 3.0659・・・
 3.0659÷1.618 = 1.8949・・・
 1.8949÷1.618 = 1.1711・・・
 1.1711÷1.618 = 0.7238・・・
 0.7238÷1.618 = 0.44735・・・
0.44735÷1.618 = 0.27648・・・
0.27648÷1.618 = 0.17088・・・
0.17088÷1.618 = 0.10561・・・
0.10561÷1.618 = 0.065273・・・
0.06527÷1.618 = 0.040342・・・
0.04034÷1.618 = 0.024933・・・
0.02493÷1.618 = 0.015409・・・
0.01540÷1.618 = 0.009524・・・
   ・・・    ・・・     ・・・
 という具合に、”延々と、0と1との間に数値が存在”していたのでした。
ご自分で確かめてみて下さい。下の2つの数値を足し算すると、その一つ上の数値になって、フィボナッチ数列の基本ルールにしっかり対応できていることが確認できます。

 ということは、数列の基本ルールとして、『加減算と割り算掛け算との間に、1:1の対応関係がフィボナッチ実数列には存在する』ということでもあった訳です。

 もう1つフィボナッチ実数列の基本的ルールが存在していました。
それは、小さい方と大きい方とを掛け合わせて見た時、それがフィボナッチ数列であるならば、一定値になる、という事です。
論より証拠です。やってみせましょう。

610.000 x 0.009524=5.80964
377.008 x 0.015409=5.80932
233.009 x 0.024933=5.80961
144.011 x 0.040342=5.80969
 89.005 x 0.065273=5.80962
 55.009 x 0.10561 =5.80950
 33.998 x 0.17088 =5.80958
 21.013 x 0.27648 =5.80967
 12.986 x 0.44735 =5.80929
 8.0264 x 0.7238  =5.80951
 4.9607 x 1.1711 = 5.80948
 3.0659 x 1.8949 = 5.80957
 1.8949 x 以下同じ。 ・・・
 有効数字4桁までが、5.809で一緒になっています。ちなみに平均値を取ると、5.80954です。12個の平均ですから、有効数字5桁で一致していることが分かります。


「先生、音楽はフィボナッチ数列と密接な関係がある話をしたかったのではないのですか?」って質問がありました。
 お答えしましょう。
今やって見せた大小の掛け算を実際にやってみればいいのです。
音階「ド」の周波数は、32.7、65.41、130.8、261.6、523.3、1046.25、2093、4186.c/secの8つでしたね。

 32.7 x 4186   = 136882.
 65.41x 2093.  = 136903.
130.8 x 1046.25= 136850.
261.6 x  523.3 = 136895.
 有効数字が3桁しかない数値も混じっているにもかかわらず、4組の掛け算結果は有効数字4桁で一致していますね。
 これは、「音楽の世界がフィボナッチ実数列によってしっかりと支えられている」ということを意味しています。
 質問された方、納得出来たでしょうか。

 ブログとしては、少々長くなりましたので、音の強さに関する話はまたの機会と致しましょう。
 2016 5/18 Hiro. Oyama(大山宏)

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