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2016年5月17日 (火)

無限大と無限小の中間にある世界とは? Hiro. Oyama

概要:極大値と極小値との間に中央値があるように、無限大数と無限小数との間にも中央値が存在します。その中央値とは〔1〕か〔無限大〕かのいずれかであることを分かり易くフィボナッチ実数列を用いて、除夜の鐘の話を交えつつ解説しています。
 無限大と無限小の中央に中央値が鎮座する世界とはどんな世界なのでしょうか?
言葉を換えれば、『極小値と極大値との中央の値とは、一体、どんな数値でしょうか?』という問題です。
 今日はそのことについて考えてみましょう。
一言で「無限大」とは言っても、その無限大数を考えた直後にそれよりももっと大きな数があると分かるのですから真に(まことに)始末が悪い。
 前回のブログで、「無限大はと表され、無限小は〔1/∞〕と表されます。そして無限大と無限小の中間は〔〕である」と、お話ししました。
そこで、今後は∞が無限個集まった数世界を〔∞x∞ : ∞^2〕と表し、無限小が無限個集まった数世界を〔1/(∞x∞) : ∞^-2〕と表すことにしましょう。
 このルールに従えば、〔∞^2〕が無限個集まった数世界は〔∞x∞x∞ : ∞^3〕と表され、
更に、〔∞^3〕が無限個集まった数世界は〔∞^3x∞ : ∞^4〕と表されるのでした。
 さて、ここで問題です
『〔無限大^1〕と〔無限大^5〕との中間の数は幾つになるでしょうか?』
「大小を順番に掛け合わせていけば、中央に来る値の数がその答え」であると先のブログで分かっていますから、確かめを兼ねて計算してみましょう。
〔∞^1〕x〔∞^5〕=〔∞^6〕
〔∞^2〕x〔∞^4〕=〔∞^6〕
〔∞^3〕x〔∞^3〕=〔∞^6〕
〔∞^4〕x〔∞^2〕=〔∞^6〕
〔∞^5〕x〔∞^1〕=〔∞^6〕
 ですから、中央値の数は〔∞^3〕であることになり、理屈に合っています。
今度は、『無限小〔1/∞^3〕と無限大〔∞^3〕との中央の値』を求めてみましょう。
〔∞^-3〕x〔 ∞^3〕=〔 1.〕
〔∞^-2〕x〔 ∞^2〕=〔 1.〕
〔∞^-1〕x〔 ∞^1〕=〔 1.〕
〔 ∞^0〕x〔 ∞^0 〕=〔 1.〕
〔 ∞^1〕x〔∞^-1〕=〔 1.〕
〔 ∞^2〕x〔∞^-2〕=〔 1.〕
〔 ∞^3〕x〔∞^-3〕=〔 1.〕
 あれまあ、全て、〔1.〕が中央の数だと出て来たではないですか。
興味本位で、『無限小〔1/∞^3〕と無限大〔∞^4〕との中央値』を計算してみましょう。
〔∞^-3〕x〔 ∞^4〕=〔 ∞ 〕
〔∞^-2〕x〔 ∞^3〕=〔 ∞ 〕
〔∞^-1〕x〔 ∞^2〕=〔 ∞ 〕
〔 ∞^0〕x〔 ∞^1 〕=〔 ∞ 〕
〔 ∞^1〕x〔 ∞^0 〕=〔 ∞ 〕
〔 ∞^2〕x〔∞^-1〕=〔 ∞ 〕
〔 ∞^3〕x〔∞^-2〕=〔 ∞ 〕
 今度は、どの数値もみんな〔 ∞ 〕が中央の数だと出て来ました。
ついでですから、『無限小〔1/∞^4〕と無限大〔∞^4〕と間の中央の値』を計算してみましょう。
〔∞^-4〕x〔 ∞^4〕=〔 1.〕
〔∞^-3〕x〔 ∞^3〕=〔 1.〕
〔∞^-2〕x〔 ∞^2〕=〔 1.〕
〔∞^-1〕x〔 ∞^1〕=〔 1.〕
〔 ∞^0〕x〔 ∞^0 〕=〔 1.〕
〔 ∞^1〕x〔∞^-1〕=〔 1.〕
〔 ∞^2〕x〔∞^-2〕=〔 1.〕
〔 ∞^3〕x〔∞^-3〕=〔 1.〕
〔 ∞^3〕x〔∞^-3〕=〔 1.〕
〔 ∞^4〕x〔∞^-4〕=〔 1.〕
 あれあれ、今度は(またまた)全て、〔1.〕が中央の値数だと出て来たではないですか。
このことから分かることは、

 無限大と無限小との間の中央の数(;言い換えれば極大値と極小値との中央に鎮座している数)は、〔 1.〕もしくは〔 ∞ 〕でしかあり得ないよ、ということが分かります。
『1.でなければ∞、∞でなければ1.である』とは不思議な世界でしょう?
そこでですが、今度は、∞と1.との間で中央に位置する値がどんな数字になるか、考えてみましょう。
無限大の数として(なんでもいいですから)数を心の内で決めて下さい。
例えば、10^10 という1の下に0(ZERO)が10個ならぶ数値を∞数としましょうか。
 最小値は.(=10^0) ですよ。

.: 10^0 x10^10 =10^10
    10^1 x 10^9 =10^10
    10^2 x 10^8 =10^10
    10^3 x 10^7 =10^10
    10^4 x 10^6 =10^10
    10^5 x 10^5 =10^10
    10^6 x 10^4 =10^10
    10^7 x 10^3 =10^10
    10^8 x 10^2 =10^10
    10^9 x 10^1 =10^10
: 10^10 x 1.  =10^10
 中間値は10^5 = 100,000だと分かります。

即ち、.と10,000,000,000 との間の中央の値は100,000 だったのです。

『なあんだ、単なる数の遊びじゃあないか』と思われた方のために、自然界がこの法則によって成り立っていることを示してあげましょう。
 自然界の随所にフィボナッチ数列が顔を出して来ることはご存知ですね。
あのフィボナッチ数列の中央値を計算してみましょう。
(結果を分かり易くするために、34以下のフィボナッチ数は小数点以下2桁の実数値で示しました)。
 1
 1⇒  1.17 x 9227465= 10796134
 2⇒  1.89 x 5702887= 10778456
 3⇒  3.06 x 3524578= 10785209
 5⇒  4.96 x 2178309= 10804413
 8⇒  8.03 x 1346269= 10810540
13⇒ 12.98 x  832040= 10799880
21⇒ 21.01 x  514229= 10799879
 34⇒  34  x  317811= 10805574
 55⇒  55  x  196418= 10802990
 89⇒  89  x  121393= 10803977
12    144  x   75025= 10803600
13    233  x   46368= 10803744
14    377  x   28657= 10803689
15    610  x   17711= 10803710
16    987  x   10946= 10803702
17   1597  x    6765= 10803705
18番 2584  x    418110803704
19番 4181  x    258410803704
    6765  x    1597= 10803705
21  10946  x     987= 10803702
   17711  x     610= 10803710
23  28657  x     377= 10803689
   46368  x     233= 10803744
25  75025  x     144= 10803600
  121393   x      89= 10803900
27 196418   x      55= 10802990
   317811  x      34= 10805574
29 514229  x   21.01= 10803951 
   832040  x   12.98= 10799879
31 1346269 x    8.03= 10810540
   2178309 x    4.96= 10804413
33 3524578 x    3.06= 10785209
   5702887 x    1.89= 10778456
35 9227465 x   1.17= 10796134

 最大数に、9227465を割り当てたのですが、見事に108なる数値が並びました。
まさか、除夜の鐘108つという数が、突然ここに現れて来たのには、ビックリしましたね。
 有効数字として実質4桁の数字を使用していますので、4桁までほぼ揃っています。
有効数字を全て5桁以上に合わせていれば、5桁の数字すべて、同じ値になっていたのです。参考までに、最初の8番までを計算し直してお見せしましょう。
1⇒  1.1708 x 9227465= 10803516
2⇒  1.8944 x 5702887= 10803549
3⇒  3.0652 x 3524578= 10803536
5⇒  4.9597 x 2178309= 10803759
8⇒  8.0250 x 1346269= 10803809

 フィボナッチ数字は34個を使用しています。中央は18番と19番の中間値です。
平方根(10803704)を取ると、3287.が中央値であると判明しました。
その数字にフィボナッチ番号を与えるならば、18.5番目というところでしょう。
 除夜の鐘って何?』って質問ですか?
外国(エイリアン)の方ですね。
日本では、大晦日(おおみそか)の日(12月31日)から正月(1月1日)に年が変わる時刻に、お寺で鐘(かね)を突く風習があるのです。その数が108と数が決まっているのです。お坊さんに言わせると、「それは1年間にたまった煩悩(ぼんのう)108つを取り払う意味を込めて打つ」ということになっているのですが、その根拠はあいまいです。
案外、エイリアンがインドかチベットに舞い降りて来て、上記のフィボナッチ秘話(宇宙創世の数の話)をした痕跡かも知れません。
 さて、本論に戻って、中間値がすべて、〔1.〕となる状態を探ってみましょう。
そのためには、中間値10803704で割り算してみればよいのでした。そして、フィボナッチ実数列を積み上げ計算していった結果が下表となります。

0.0036361x 275.01714 = 0.99999
0.0058834x 169.96994 = 1.00000
0.0095195x 105.04720 = 1.00000
0.0154029 x  64.92274 = 1.00000
0.0249223 x  40.12446 = 0.99999
0.0403252 x  24.79828 = 1.00000
0.0652476 x  15.32618 = 1.00000
0.105573  x   9.47210 = 1.00000
0.170820  x  5.85408 = 0.99999
0.276393  x 3.61802 = 1.00000
 0.44721 x 2.23606 = 0.99999
1: 0.72361x 1.38196 = 1.00000
1: 1.1708x 0.85410 = 0.99998
2: 1.8944x 0.52786 = 0.09999
3: 3.0652x 0.32624 = 0.99998
5: 4.9597x 0.20163 = 1.00001
8: 8.0250x 0.12461 = 1.00001
  12.98 x  0.07701 = 0.99965
   21.01 x  0.04760 = 0.99965
    34.  x  0.02942 = 1.00017
10番  55. x 0.01818 = 0.99993
      89. x 0.01124 = 1.00000
12番  144 x 0.00694 = 1.99999 
     233 x 0.00493 = 1.00000
14番  377 x 0.00265 = 0.99999
     610 x 0.00164 = 1.00000
16番  987 x 0.001013=1.00000
    1597 x 0.000626=1.00000
18番 2584  x 0.0003871.00
19番 4181  x   2584  10803704
    6765  x    1597= 10803705
21  10946  x     987= 10803702
   17711  x     610= 10803710
23  28657  x     377= 10803689
   46368  x     233= 10803744
25  75025  x     144= 10803600
  121393   x      89= 10803900
27 196418   x      55= 10802990
   317811  x      34= 10805574
29 514229  x   21.01= 10803951 
   832040  x   12.98= 10799879
31 1346269 x    8.03= 10810540
   2178309 x    4.96= 10804413
33 3524578 x    3.06= 10785209
   5702887 x    1.89= 10778456
35 9227465 x   1.17= 10796134

 良かったですね、フィボナッチ数列の最初の〔1〕が実は、0.72361に対応していたのだということが確認出来ました!
 えっ質問ですか? なになに?
フィボナッチ数列の基本ルールは何か?』という質問ですか。
復習の意味で、おさらいしましょう。
1+1=2
  1+2=3
    2+3=5
      3+5=8
        5+8=13
         8+13=21
          13+21=34
という具合に、自分自身に自分より一つ前の数値を加えると、次の数値になる数列のことをフィボナッチ数列と呼びます。
 小説「ダビンチコード」で超有名になった数列ですが、これまでは正の整数範囲でしか知られていませんでした。
昨年末、私はこのルールを実数世界に範囲を拡大してみたのです。そうすると、0と1との間に無数(無限個)のフィボナッチ実数が存在することを知ったのでした。
 上記に、小数点付きの実数が縦に並んでいます。
どこの数字でもいいですから、直前の数値と自分自身とを加え算してごらんなさい。その答えは次の数字になっているでしょう?
さて、四捨五入すれば1になる4つの数字
0.72361、1.38196、1.1708、0.85410 〕の平均値を計算してみましょう。
AVE=1.033であり、1より少し外れます。フィボナッチ数列の〔1.0〕は「大小を掛け合わせたときに〔1.0〕となる」のが正解の様子です。

 このブログの結論です
【1】フィボナッチ数列実数世界に展開できる。
   その実数列の場合、最初の1に相当する数値は、実は、0.72361 とすれば良いことが分かった。
【2】、最大数Mの逆数(1/M)を最小数とする数列はフィボナッチ実数列を形成している。
そして、無限大数の逆数(1/∞)を無限小数とする実数列は、フィボナッチ実数列を形成している。
【3】、∞が無限個集まった数世界を〔∞x∞ : ∞^2〕と表し、無限小が無限個集まった数世界を〔1/(∞x∞) : ∞^-2〕と表すとすると、その中央数字は、〔1.〕である。
そして、〔∞^2〕が無限個集まった数世界は〔∞x∞x∞ : ∞^3〕と表され、その〔∞^3〕と〔無限小〔1/∞〕の数世界の中央の値は〔∞〕個、存在する。
 無限大と無限小との中間の数(;言い換えれば極大値と極小値との中間の数)は、〔 1.〕もしくは〔 ∞ 〕でしかあり得ないない、という事、ご納得していただけたでしょうか。
 我々の住んでいる自然世界のすべてはフィボナッチ実数列で成立していることを、まずは数学の世界にて、ご説明させて頂きました。
 2016  5/17  Hiro. Oyama(大山宏)

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