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2018年1月10日 (水)

【2-2】フィボナッチ坊やが〔無限大宇宙~無限小宇宙〕を語る。

Fibonacci sonny is talking about [Infinite universe, this world, and infinite microcosm].
Let's talk [Fibonacci actually real column] that was today. First "Fibonacci sequence and what it! or? ' Let me explain it. Sequences become very well known in the novel written by Dan Brown's "da Vinci Code", the Louvre in Paris plunged into chaos: "1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,..." for that.
 フィボナッチ坊やが[無限大宇宙~現世~無限小宇宙]について語っています。
 
 今日は[ フィボナッチ数列が実は実数であった]というお話をしましょう。
まず初めに『フィボナッチ数列とはんぞや?』という説明をしましょう。
ダン・ブラウン氏が書いた小説「ダビンチ・コード」で超有名になってしまって、パリルーブル美術館を混乱に陥れてしまった数列:「1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13, 21, 34、・・・」のことです。
112
  12=3
    2+35
    358
       5813
        81321 … という具合に、並んでいる数列のことです。
どうやら、この数列は美術や彫刻だけに限らず、自然界全体の基本法則らしいのです。言語学や音声意図学も陰で支配していると言うのですから、パリに厳戒令が敷かれたのも、無理からぬことです(パリ市民はありがた迷惑という顔をしていました)。
 それはさておき、〔これまで数百年間、正の整数列だとばかり思われていた数列が、実は実数であった〕ということが判明しました。

 論より証拠です。早速お見せしましょう。
 
Ni.   フィボナッチ数列  実数列
 1       1     0.7236
 2       1     1.1708
 3       2     1.8944
 4       3     3.0652
 5       5     4.9600
 6       8     8.0249
 7      13     12.9845
 8      21     21.0095
 9      34     33.9941
 どうです。右に並んでいる実数列を四捨五入して御覧なさい。フィボナッチ数列になっているでしょう? もう少し続けましょうか?
10
      55    55.0036
11
      89    88.0077
12
     144    144.00139
13
     233    232.99914
14
     377    377.00053
15
     610    609.99967
16
     987    987.00020
17
    1597   1596.999875
 1000を超えた数値になっても、しっかり(ピッタリ)成立しているでしょう。
目くらめっぽうに実数を並べても、こう上手くは行きません。その種明かしをしましょう。
 実は、計算式を見つけ出したのです。その式は、簡単に書けば、
 
Fi 55.1.618^(Ni -10) …(1 という式なのです。
例えば、11番目のフィボナッチ数は、89ですが、Ni 11を(1)式に代入すると指数[べき乗数]は、Ni10 1 ですから、1.618を1回だけ掛ける(掛け算の)約束です。電卓で計算してみると、⇒ Fi 551.618 88.99 ですから、
 
      四捨五入すれば、89 となって、ピッタリでしょ。
12
番目のフィボナッチ数は、144 です。
 Ni
12ですから、Ni12102、よって 2回だけ1.618 を掛ければいいのです。
 
電卓をはじいてみると、⇒ Fi 551.6181.618 143.9858
小数点以下を四捨五入すると 144であり、これもピッタシカンカン数となっています。
 
今度は、Ni= 9番目のフィボナッチ数列を計算してみましょう。
(Ni-10)
( 9-10) =‐1です。1.618という数値を1]だけ掛けるということは、1,618 割り算を1回行うという約束事です。
よって、Fi 55÷1.618 33.99
    四捨五入すると、34 であり、フィボナッチ数が出て来ます。

Ni= 8
番目の数値は[‐2回]だけ掛ければいいのですから、1.6182回割り算をします。
Fi
 = 55÷1.618÷1.61821.009  以下同様にして、2番目のFi数を求めると、
Fi
2)=551.618^(210)=1.9542  ⇒ 2
Fi
1)=551.618^(110)=1.2153  ⇒ 1
Fi
0)=551.618^(010)=0.7558  ⇒ 1
 と、めでたくフィボナッチ数列が掛け算と割り算で出せる事が分かりました。
  ここまで来ると勢いというものです。
Fi
(-1)=551.618^(1-10)= 0.47002 ⇒0
Fi
(-2)=551.618^(-2-10)= 0.2923 ⇒0
Fi
(-3)=551.618^(-3-10)= 0.18178 ⇒0
Fi
(-4)=551.618^(-4-10)= 0.11305 ⇒0
Fi
(-5)=551.618^(-5-10)= 0.0703 ⇒0
Fi
(-6)=551.618^(-6-10)= 0.04372 ⇒0
Fi
(-7)=551.618^(-7-10)= 0.02719 ⇒0
Fi
(-8)=551.618^(-8-10)= 0.0169 ⇒0
Fi
(-9)=551.618^(-9-10)= 0.01051 ⇒0
Fi(
10)=551.618^(-10-10)=0.00654 ⇒0

 これまでフィボナッチ数列には「0」以下は無いのだと思っておられたでしょうが、実数(小数点付きの数)で表すと、小さな数値(フィボナッチ実数)が、無数に入っていることが分かりましたね。

 小さい方は取りあえずこれ位にしておいて、今度は大きい方を計算してみましょう。
Fi
10)=551.618^10-10    =   55 
Fi
11)=551.618^11-10)=  88.99 ⇒  89
Fi
12)=551.618^12-10)= 143.98 ⇒ 144
Fi
13)=551.618^13-10)= 232.97 ⇒ 233
Fi
14)=551.618^14-10)= 376.94 ⇒ 377
Fi
15)=551.618^15-10)= 609.90 ⇒ 610
Fi
16)=551.618^16-10)= 986.81 ⇒ 987
Fi
17)=551.618^17-10)= 1596.66  1597
Fi
18)=551.618^18-10)= 2583.34  258
Fi
19)=551.618^19-10)= 4179.93  4180
18
番目からフィボナッチ数は、1だけ小さい値を示し出しました。
 
 どうしてそれが分かるかというと、直前の二つ数字:[987]と[1597]とを加えると、258 なのに、258 になっています。
 
少な目の数字なのですから、比例定数=55、を少し大き目にするか、もしくは、 1.618を少しだけ大き目にしてから、初めから計算をやり直してみればいいのです。
 このような調整によってフィボナッチ数は、50番目であろうと、100番目であろうと、150番目であろうと一致するように、調整できます。
 
 一口に150番目と言っても、その大きさは分からないでしょうから、
 
151番目のFi(フィボナッチ数)の値を書いておきましょうね。
Fi151= 16,130,500,000,000,000,000,000,000,000,000
 この数値は、千兆を千兆倍したものに更に、16.1305を掛け合わせた値なのです。

日本の国家予算は千兆円にはまだ届いていません。千兆を[無限大]とするならば、この数値は、[無限大]*[無限大]*16倍 という想像を絶する値を持ったフィボナッチ数(Fi数)なのです。このべらぼうに大きな数値群の中に、フィボナッチ数は、わずか〔151個〕だけしか、存在していないのです。
 
 以上は、従来の定義:「フィボナチ数列は正の整数値の並びである」という範囲内での話でした。
 
 この定義を拡張して、新たに、「フィボナッチ数値は、正の実数値である」と定義し直すと、上記の151個〕がその中に含まれるのは当然です。そして、その他に無数のFi数(フィボナッチ数)が存在することになります。

 その無数のフィボナッチ数はどこに存在するのか?
1
より小さい方に関しては、[0.1.]の間にひしめき合って存在していましたね。
 
大きい方に関しても、飛び飛びの値の間を補間する形で、それこそ無数にFi 数(フィボナッチ数)は存在しているのでした。
 
  言葉を改めましょう。
 
 このようにフィボナッチ数列を実数で定義し直すと、便利なことが幾つかあるのです。
 
その一つは、1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13, 21, 34…と、飛び飛びで 指数関数的に増える勢いの成長カーブに於いて、途中の間(例えば58の間)の数値が,小数点付きで可能になります。
 これって非常に便利な道具になるのですが、今日はここまでにしましょう。2016 01/01 Hiro. Oyama

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